Matemáticas

Matemáticas (del griego μάθημα, Máthema: Ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, Mathematikós: Amante del conocimiento) es la ciencia que estudia las propiedades de los entes abstractos, como los números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

Las Ciencias Exactas o Matemáticas se caracterizan ante todo por su exigencia de claridad (los conceptos han de definirse) y su exigencia de rigor (las afirmaciones han de probarse con un razonamiento fuera de toda duda).

La Grecia clásica descubrió y quedó fascinada ante la posibilidad de tal conocimiento, cuyo más claro exponente era la Geometría, el estudio de las relaciones métricas que se dan en las figuras planas y espaciales. En Los Elementos de Euclides el genio griego alcanzó a desarrollar, partiendo únicamente de cinco postulados, una ingente cantidad de conocimientos geométricos y algunos resultados fundamentales de Aritmética. Desde entonces el método axiomático es el ideal del saber matemático.

En siglos posteriores el ámbito de las matemáticas se fue extendiendo con el Álgebra (números negativos y cálculo simbólico) y sobre todo con el descubrimiento por Leibniz y Newton del cálculo infinitesimal, verdadera joya de fecundidad inagotable que penetra en el corazón de las magnitudes variables (y por ello en los fenómenos estudiados en Física).

Pero estos desarrollos no alcanzaron la claridad y el rigor deseables hasta el siglo XIX. Siglo donde la cultura alemana, con Gauss en cabeza, descubre que en cada objeto matemático subyace una estructura cuyo estudio y conocimiento es la clave de su comprensión, jugando las propiedades formales y cualitativas un papel preponderante frente a las cuantitativas. Entendiendo ahora los axiomas como las relaciones que definen la estructura en cuestión, en los siglos XIX y XX se produce una fantástica explosión de los temas que abordan las matemáticas: Geometría Proyectiva y Diferencial, Topología, Funciones de variable compleja, Grupos y Anillos, Lógica, Probabilidades,...

Así, mientras que el método axiomático ha permanecido como aspiración inmutable de las matemáticas desde sus comienzos en el siglo VI adC con Tales de Mileto y otros, el objeto de estudio se ha extendido progresivamente. Primero fue la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. En los siglos XVII y XVIII se entendió como la ciencia de las relaciones entre magnitudes y cantidades variables. En los siglos XIX y XX es más bien la ciencia de la estructura y la simetría, de la forma y las relaciones cualitativas.

Aunque todas sus partes están cada vez más unidas e estrechamente relacionadas, a contracorriente de la cultura de la especialización actualmente en boga, podría realizarse la siguiente división (forzada y artificial; pero útil para "hacerse una idea") en varias ramas:

Fundamentos: Lógica, Conjuntos, Teoría de las categorías.

Aritmética: Teoría de Números Algebraica y Analítica.

Geometría: Geometría Algebraica, Geometría Diferencial, Topología.

Álgebra: Teoría de Grupos y Anillos, Álgebra Homológica.

Análisis: Funciones, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales, Análisis Funcional, Teoría de la Medida.

Física Teórica: Cálculo de Variaciones, Mecánica, Teoría Cuántica.

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